Полезные свойства деревьев


ТОП 20 Полезных свойств деревьев — Природа Мира

Деревья - это наши лучшие друзья !!! Если Вы сомневаетесь в этом, тогда представляем вашему вниманию 20 главных причин, из-за которых стоит сажать, ухаживать и защищать деревья.

#1: Борются с парниковым эффектом

Глобальное потепление стало результатом избытка парниковых газов, созданных при горении ископаемого топлива и истребления тропического леса. Солнечное тепло, отражаясь от Земли, попадает в ловушку из слоя парниковых газов, в результате чего, уровень мировой температуры постоянно растет. Углекислый газ (CO2) считается одним из главных парниковых газов. Деревья, в процессе фотосинтеза, перерабатывают СО2 на кислород. В течение одного года, акр взрослых деревьев поглощает количество CO2, которое вырабатывает автомобиль проехавший 26000 миль.

#2: Очищают воздух

Деревья поглощают запахи и газы загрязняющих веществ (оксиды азота, аммиак, диоксид серы и озон), а также фильтруют твердые частицы из воздуха, путем захвата их на листья и кору.

#3: Обеспечивают нас кислородом

За один год, акр зрелых деревьев, может обеспечить кислородом 18 человек.

#4: Остужают улицы и города

В течение последних 50 лет из-за масштабного строительства и снижения количества зеленых насаждений средняя температура в городах заметно увеличилась. Деревья способны понизить температуру на несколько градусов Цельсия, за счет создания тени для наших домов и улиц, разбивая городские «тепловые острова» и выпуская водяной пар в воздух через листья.

#5: Экономят энергию

Три дерева, правильно размещенные вокруг дома, могут сократить летние потребности в кондиционировании воздуха на 50 %. При снижении спроса на энергию, для охлаждения наших помещений, уменьшаются выбросы двуокиси углерода и других загрязняющих веществ от электростанций.

#6: Экономят воду

Многим саженцам нужно около 15 галлонов воды в неделю. Тень от деревьев замедляет испарение воды из почвы и увеличивает влагу в атмосфере.

#7: Предотвращают загрязнение воды

Деревья уменьшают сток, разбивая осадки, что позволяет замедлить скорость потока воды. Это предотвращает попадание загрязняющих веществ и мусора в океан. Еще деревья действуют как губка, которая фильтрует грунтовые воды.

#8: Предотвращают эрозию почвы

Деревья своей корневой системой скрепляют почву, удерживая ее на месте, а также замедляют скорость ветра и поток воды.

#9: Защищают детей от ультрафиолетовых лучей

Рак кожи является самой распространенной формой рака в странах с жарким и солнечным климатом. Деревья снижают воздействие ультрафиолетовых лучей примерно на 50 %, обеспечивая тем самым защиту детей на школьных дворах и детских площадках, где они проводят много времени.

#10: Обеспечивают нас питанием

Яблоня может дать около 400-600 кг плодов в год. Помимо пропитания людей, деревья обеспечивают пищей птиц и диких животных.

#11: Исцеляют

Исследования показали, что пациенты в палатах с видом на деревья выздоравливают значительно быстрее и с меньшим количеством осложнений. У Детей с СДВГ (Синдром дефицита внимания и гиперактивности) было замечено меньшее проявление симптомов заболевания, когда они имели доступ к природе. Созерцание на зеленые деревья расслабляет и снижает уровень умственной усталости.

#12: Уменьшают насилие

Дома, которые не имеют деревьев, показали значительный уровень насилия среди их владельцев, чем их озелененные аналоги. Еще деревья помогают уменьшить уровень страха.

#13: Дают представление о времени года

Это зима, весна, лето или осень? Взгляните на деревья и сразу станет ясно!

#14: Создают экономические возможности

Фрукты, собранные в саду можно продать, тем самым обеспечив доход. Неплохие перспективы для зеленого бизнеса возникают в городах, которые в наше время нуждаются в озеленении, как никогда раньше. Профессиональные курсы обучения людей, заинтересованных в работе по озеленению, также являются отличным способом получения экономической выгоды.

#15: Учителя и товарищи по играм

Дома для детей или места творческого и духовного вдохновения для взрослых. Деревья предоставляют нам уютное пространство для игр, общения, работы или учебы.

#16: Объединяют различные группы людей вместе

Посадка молодых деревьев предоставляет возможность участия групп людей различных возрастов, полов и взглядов в коллективных мероприятиях, что улучшает взаимопонимание и приводит к новым интересным знакомствам.

#17: Служат защитой и средой обитания для животных

Дуб и каштан являются одними из многочисленных видов городских деревьев, которые обеспечивают жильем и укрытием насекомых, птиц, белок и других животных.

#18: Украшают

Деревья могут маскировать неприглядные виды, а также приглушать звуки и создавать приятный, и успокаивающий зеленый занавес для глаз.

#19: Обеспечивают древесиной

В пригородных и сельских районах, древесина может быть использована в качестве топлива для обогрева помещений или приготовления пищи.

#20: Увеличивают стоимость недвижимости

Красота от хорошо посаженых и ухоженных деревьев около дома может поднять его стоимость на целых 15 %.

Не нашли, то что искали? Используйте форму поиска по сайту

Понравилась статья? Оставь комментарий и поделись с друзьями

8 Полезные древовидные структуры данных, о которых стоит знать | Виджини Маллаваараччи

Обзор 8 различных древовидных структур данных

Что приходит вам в голову, когда вы думаете о дереве? Корни, ветви и листья? Вам может прийти в голову большой дуб с корнями, ветвями и листьями. Точно так же в информатике древовидная структура данных имеет корни, ветви и листья, но нарисована в перевернутом виде. Дерево - это иерархическая структура данных, которая может представлять отношения между различными узлами.В этой статье я кратко познакомлю вас с 8 типами древовидных структур данных.

Свойства дерева

  • Дерево не может содержать узлов или может содержать один специальный узел, называемый корнем с нулевым или более поддеревьями.
  • Каждое ребро дерева прямо или косвенно происходит от корня.
  • У каждого ребенка есть только один родитель, но у одного родителя может быть много детей.
Рис. 1. Терминология деревьев

В этой статье я кратко объясню следующие 10 древовидных структур данных с их использованием.

  1. Общее дерево
  2. Двоичное дерево
  3. Двоичное дерево поиска
  4. AVL-дерево
  5. Красно-черное дерево
  6. Дерево Splay
  7. Treap
  8. B-дерево

Общее дерево представляет собой древовидную структуру данных, где нет никаких ограничений на иерархическую структуру.

Свойства

  1. Следуйте свойствам дерева.
  2. Узел может иметь любое количество дочерних узлов.
Рис. 2. Общее дерево

Использование

  1. Используется для хранения иерархических данных, таких как структуры папок.

Двоичное дерево - это древовидная структура данных, в которой можно найти следующие свойства.

Свойства

  1. Следуйте свойствам дерева.
  2. Узел может иметь не более двух дочерних узлов (потомков).
  3. Эти два дочерних узла известны как левый дочерний узел и правый дочерний элемент .
Рис. 3. Двоичное дерево

Использование

  1. Используется компиляторами для построения синтаксических деревьев.
  2. Используется для реализации синтаксических анализаторов выражений и решателей выражений.
  3. Используется для хранения таблиц маршрутизаторов в маршрутизаторах.

Дерево двоичного поиска является более ограниченным расширением двоичного дерева.

Свойства

  1. Следуйте свойствам двоичного дерева.
  2. Имеет уникальное свойство, известное как свойство двоичного дерева поиска . Это свойство указывает, что значение (или ключ) левого дочернего элемента данного узла должно быть меньше или равно родительскому значению, а значение правого дочернего элемента должно быть больше или равно родительскому значению.
Рис. 4. Дерево двоичного поиска

Использование

  1. Используется для реализации простых алгоритмов сортировки.
  2. Может использоваться как приоритетная очередь.
  3. Используется во многих поисковых приложениях, где данные постоянно поступают и уходят.

Дерево AVL - это самобалансирующееся двоичное дерево поиска. Это первое представленное дерево, которое автоматически уравновешивает свою высоту.

Свойства

  1. Следуйте свойствам деревьев двоичного поиска.
  2. Самобалансирующийся.
  3. Каждый узел хранит значение, называемое коэффициентом баланса , которое представляет собой разницу в высоте между его левым поддеревом и правым поддеревом.
  4. Все узлы должны иметь коэффициент балансировки -1, 0 или 1.

После выполнения вставок или удалений, если есть хотя бы один узел, у которого коэффициент балансировки не равен -1, 0 или 1, то вращения должна выполняться для балансировки дерева (самобалансировка). Вы можете прочитать больше об операциях вращения в моей предыдущей статье из здесь .

Рис. 5. Дерево AVL

Использование

  1. Используется в ситуациях, когда используются частые вставки.
  2. Используется в подсистеме управления памятью ядра Linux для поиска областей памяти процессов во время вытеснения.

Красно-черное дерево - это самобалансирующееся двоичное дерево поиска, где каждый узел имеет цвет; красный или черный. Цвета узлов используются для того, чтобы дерево оставалось приблизительно сбалансированным во время вставки и удаления.

Свойства

  1. Следуйте свойствам деревьев двоичного поиска.
  2. Самобалансирующийся.
  3. Каждый узел красный или черный.
  4. Корень черный (иногда опускается).
  5. Все листья (обозначены как NIL) черные.
  6. Если узел красный, то оба его дочерних узла черные.
  7. Каждый путь от данного узла к любому из его листовых узлов должен проходить через одинаковое количество черных узлов.
Рис. 6. Дерево AVL

Использование

  1. В качестве основы для структур данных, используемых в вычислительной геометрии.
  2. Используется в Completely Fair Scheduler , используемом в текущих ядрах Linux.
  3. Используется в реализации системного вызова epoll ядра Linux.

Расширяемое дерево - это самобалансирующееся двоичное дерево поиска.

Свойства

  1. Следуйте свойствам деревьев двоичного поиска.
  2. Самобалансирующийся.
  3. К недавно использованным элементам снова можно получить быстрый доступ.

После выполнения поиска, вставки или удаления деревья расширения выполняют действие, называемое расширение , при котором дерево переупорядочивается (с использованием вращения) так, чтобы конкретный элемент помещался в корень дерева.

Рис. 7. Поиск Splay tree

Использование

  1. Используется для реализации кешей
  2. Используется в сборщиках мусора.
  3. Используется при сжатии данных

treap (имя, производное от tree + heap ) - это двоичное дерево поиска.

Свойства

  1. Каждый узел имеет два значения; ключ и приоритет .
  2. Ключи следуют свойству двоичного дерева поиска.
  3. Приоритеты (которые являются случайными значениями) следуют за свойством кучи.
Рис. 8. Treap (красные буквенные ключи следуют за свойством BST, а числовые значения синего цвета следуют за максимальным порядком кучи)

Использование

  1. Используется для поддержки сертификатов авторизации в криптосистемах с открытым ключом.
  2. Может использоваться для выполнения операций быстрой настройки.

B-дерево - это самобалансирующееся дерево поиска, содержащее несколько узлов, которые хранят данные в отсортированном порядке. Каждый узел имеет 2 или более дочерних узлов и состоит из нескольких ключей.

Свойства

  1. Каждый узел x имеет следующее:

- x.n (количество ключей)

- x.keyᵢ (ключи хранятся в порядке возрастания)

- x.leaf (независимо от того, является ли x листом или нет)

2. Каждый узел x имеет (xn + 1) потомков .

3. Ключи x.keyᵢ разделяют диапазоны ключей, хранящиеся в каждом поддереве.

4. Все листья имеют одинаковую глубину, равную высоте дерева.

5. Узлы имеют нижнюю и верхнюю границы количества ключей, которые могут быть сохранены. Здесь мы рассматриваем значение t≥2, которое называется минимальной степенью (или коэффициентом ветвления ) B-дерева.

- У корня должен быть хотя бы один ключ.

- Каждый другой узел должен иметь не менее (t-1) ключей и не более (2t-1) ключей. Следовательно, каждый узел будет иметь не менее t детей и не более 2t детей. Мы говорим, что узел полон , если у него есть (2t-1) ключи.

.

Очерк о пользе посадки деревьев для детей и студентов

Деревья и растения - одна из главных причин, по которой мы живем на этой Земле. Они обеспечивают жизненный кислород, без которого наше выживание на этой планете просто невозможно. Помимо этого, посадка деревьев дает и другие преимущества. Посадка деревьев дает множество преимуществ. Некоторые из преимуществ, которые они предлагают, включают поглощение вредных газов, загрязняющих окружающую среду, предоставление пищи и убежища для птиц и животных и обеспечение тени в жаркие летние дни.

Длинное и краткое эссе о пользе посадки деревьев на английском языке

Вот эссе разной длины о пользе посадки деревьев, которые помогут вам с темой вашего экзамена. Вы можете выбрать любое интересующее вас эссе о преимуществах посадки деревьев:

Преимущества посадки деревьев Очерк 1 (200 слов)

Важность посадки деревьев подчеркивалась снова и снова. Это связано с многочисленными преимуществами, которые они предлагают. Одним из основных преимуществ посадки деревьев является то, что они дают нам живительный кислород.Без кислорода выживание живых существ невозможно.

Посадка деревьев также важна, потому что они обладают способностью поглощать вредные газы. Растущее загрязнение, вызванное монооксидом углерода, диоксидом серы и другими вредными газами и дымом, выделяемым транспортными средствами и промышленными предприятиями, контролируется и очищается в значительной степени из-за присутствия деревьев.

Деревья также служат приютом для птиц и животных. В жаркий летний день они даже предоставляют путешественникам передышку от палящего солнца.Деревья делают нашу планету достойной жизни. Но даже несмотря на то, что деревья обладают многочисленными преимуществами, и мы не можем представить свою жизнь без них, мы срезаем их в быстром темпе, чтобы удовлетворить различные потребности.

Древесина используется для изготовления различных товаров как необходимости, так и предметов роскоши. По этой причине каждый день вырубается несколько деревьев. Растущее население - еще одна причина, по которой быстро вырубается множество деревьев. Леса превращаются в промышленные зоны и жилые районы.

Пора правительству ввести ограничение на вырубку деревьев и побудить людей сажать их больше.


Преимущества посадки деревьев Эссе 2 (300 слов)

Введение

Деревья - неотъемлемая часть окружающей среды. Выживание людей и других видов животных невозможно без деревьев и растений на Земле. Это причина того, почему вырубка деревьев осуждается, и правительство пропагандирует сажать все больше и больше деревьев.

Преимущества посадки деревьев

Необходимость сажать деревья постоянно подчеркивается.Вот различные преимущества посадки деревьев:

  1. Источник кислорода

Первое и главное преимущество посадки деревьев заключается в том, что они вдыхают углекислый газ и выдыхают кислород. А потребность в кислороде окружающей среды всем известна.

  1. Абсорбировать вредные газы

Деревья не только вдыхают углекислый газ, но также поглощают различные другие вредные газы из окружающей среды, обеспечивая свежесть атмосфере.В наши дни так много автомобильного и промышленного загрязнения. Посадка большего количества деревьев поможет в значительной степени избавиться от загрязненного воздуха.

  1. Сохраняйте прохладный климат

Деревья сохраняют прохладу. Они помогают победить жару. Их охлаждение настолько велико, что может снизить потребность в кондиционерах в близлежащих местах до 50%.

  1. Предоставить убежище

Птицы строят гнезда на деревьях, обеспечивая им приют.Деревья также являются домом для паукообразных обезьян, коал, зеленого древесного питона, древесных кенгуру и других различных видов животных.

  1. Обеспечение продуктами питания

Деревья приносят плоды и служат пищей птицам, животным и людям. Листья также едят коровы, козы и другие травоядные животные.

  1. Контроль загрязнения воздуха и воды

Деревья не только поглощают вредные газы для борьбы с загрязнением воздуха, но также играют важную роль в борьбе с загрязнением воды.

Заключение

Пора признать важность посадки деревьев и взять на себя ответственность внести свой небольшой вклад в этом направлении.


Преимущества посадки деревьев Эссе 3 (400 слов)

Введение

Различная польза от посадки деревьев указывается снова и снова. На поверхностном уровне вы можете увидеть лишь некоторые из этих преимуществ, однако, если вы посмотрите глубже и почувствуете себя единым целым с ними, вы поймете, насколько они чрезвычайно важны для нашего существования.

Неправительственные организации, поддерживающие посадку деревьев

Есть ряд некоммерческих организаций, которые взяли на себя ответственность за создание более чистой и зеленой окружающей среды путем посадки деревьев. Эти организации также не поощряют рубку деревьев. Некоторые из НПО, работающих в этом направлении в нашей стране, включают Sankalp Taru Foundation, Youth Services for Peace, Say Trees, Grow Trees, Green Yatra, Reforest India, Green Life India и Tree Plantation.

Единственная цель этих НПО - ознакомить людей с преимуществами посадки деревьев и привлечь их к этому.Многие люди, поддерживающие это дело, объединились, чтобы сделать нашу страну более зеленой, и работают в этом направлении. Сотрудники этих организаций сажают деревья для распространения зелени. Время от времени они также проводят кампании, чтобы побудить к этому все больше и больше людей.

Мы можем посадить деревья поблизости от нас, чтобы поддержать дело. Однако, если мы хотим добиться серьезных изменений, мы должны присоединиться к этим неправительственным организациям, чтобы работать в больших масштабах.

Необходимо учитывать преимущества посадки деревьев

Правительство должно поддерживать некоммерческие организации, чтобы они помогали пропагандировать важность посадки деревьев.Он также должен наложить ограничение на вырубку деревьев. Сажать деревья никогда не будет достаточно, если их рубят безжалостно в быстром темпе.

Люди должны осознавать важность посадки большего количества деревьев, делая упор на их преимущества. То же самое можно распространять через радио, телевидение, газеты, социальные сети, рекламные щиты и листовки. Контактные данные НПО должны быть распространены через эти средства массовой информации. Проблема сейчас в том, что, хотя многие люди хотят работать в этом направлении, они не знают, как правильно внести свой вклад.

Также неплохо с самого начала научить студентов важности посадки деревьев. Учебные заведения могут взять на себя инициативу сажать деревья, время от времени вовлекая своих студентов в выполнение этой задачи.

Заключение

Как гласит китайская пословица: «Лучшее время сажать дерево было 20 лет назад. Второе лучшее время сейчас ». Так что сделайте свой вклад и сделайте это место красивее.


Преимущества посадки деревьев Эссе 4 (500 слов)

Введение

Растения и деревья делают эту планету достойной жизни.Без деревьев мы не можем представить жизнь на Земле. Одним из основных преимуществ посадки деревьев является то, что они обеспечивают жизненный кислород и поглощают углекислый газ, выдыхаемый животными. Однако не только кислородные деревья дают нам фрукты, древесину, волокна, резину и многое другое. Деревья также служат убежищем для животных и птиц.

Деревья повышают здоровье

Среди различных преимуществ, предлагаемых деревьями, это одно из самых значительных. Деревья по-разному укрепляют наше здоровье.Вот краткий обзор того, как они положительно влияют на наше здоровье:

  1. Уменьшить влияние загрязнения

Деревья не только вдыхают углекислый газ, но также поглощают различные вредные газы, выделяемые транспортными средствами и промышленными предприятиями. Таким образом, это естественный способ уменьшить загрязнение. Посадка большего количества деревьев означает уменьшение загрязнения. Помимо загрязнения воздуха, деревья также способствуют снижению шума и загрязнения воды. Окружающая среда, лишенная загрязнения, безусловно, более здорова.

  1. Выдача лекарств

Многие деревья и растения, включая яблоню, ясень, кедр, бук, алоэ вера, базилик, белую сосну и серебряную березу, известны своими лечебными свойствами. Кора одних деревьев обладает лечебными свойствами, а листья и плоды других приносят облегчение. Из этих деревьев получают различные лекарства для профилактики / лечения различных заболеваний. С ростом потребности в различных лекарствах и методах лечения очень важно выращивать больше таких деревьев.

  1. Разрывное напряжение

Деревья способны мгновенно омолодить нас. Проведение времени под деревом на зеленой траве может значительно снизить стресс. Звук птиц, щебечущих на ветвях деревьев, шелест листьев при прохождении ветра, запах листьев и цветов на деревьях - все это оказывает успокаивающее воздействие на наши ощущения и избавляет от стресса. Исследователи также утверждают, что деревья в объятиях могут снимать стресс.Таким образом, деревья могут уменьшить стресс, который в наши дни является причиной различных физических и психических заболеваний.

  1. Предложение естественного исцеления

Говорят, что лиственные деревья, ручьи и зеленые долины обладают природными лечебными свойствами. Это потому, что они предлагают свежий воздух для дыхания и оказывают на нас успокаивающее действие. По этой причине людям рекомендуется посещать горные станции, чтобы вылечиться от болезней. Также говорят, что те, кто остается ближе к деревьям и природе, меньше болеют.Кроме того, они быстрее заживают по сравнению с теми, кто остается закрытыми в своей искусственной городской среде.

Деревья: необходимые для нашего всестороннего развития

Деревья и растения действительно необходимы для всестороннего развития человека. Место, где нет деревьев, кажется естественно печальным, тогда как место, окруженное большим количеством деревьев, автоматически становится оживленным и достойным жизни / посещения. Деревья не только поддерживают нашу физическую форму, но и способствуют развитию нашего ума.Деревья успокаивают наш разум, а спокойствие - ключ к терпению. Терпеливый человек может принимать более обоснованные решения и хорошо работать в различных ситуациях.

Заключение

Деревья делают этот мир намного лучше для жизни. Таким образом, мы должны сажать все больше и больше деревьев и вдохновлять других делать то же самое.


Преимущества посадки деревьев Эссе 5 (600 слов)

Введение

Деревья обладают экологическими, социальными и экономическими преимуществами.По этой причине правительство и специалисты по окружающей среде подчеркивают важность посадки все большего количества деревьев. Вот краткий обзор различных преимуществ посадки деревьев.

Экологические преимущества посадки деревьев

Польза для окружающей среды от посадки деревьев известна всем. Они выдыхают кислород и вдыхают углекислый газ, чтобы поддерживать экологический баланс в окружающей среде. Они также поглощают все вредные газы и дают нам свежий и чистый воздух для дыхания.Посадка большего количества деревьев означает более свежий воздух и более чистую атмосферу. Растущее загрязнение невозможно контролировать, но его влияние можно ослабить, посадив все больше и больше деревьев. Места, населенные большим количеством деревьев, намного прохладнее по сравнению с бетонными джунглями, в которых не обойтись без кондиционеров. Деревья создают покров, защищающий нас от вредных ультрафиолетовых лучей.

Деревья также служат местом обитания птиц и различных видов животных. Кроме того, листья, цветы и плоды, которые они приносят, являются источником пищи для живых существ.Сажать деревья - значит иметь достаточно еды и жилья. Это не то. Деревья помогают контролировать загрязнение воды и предотвращать эрозию почвы. В холмистой местности они замедляют разбег и удерживают почву.

Социальные преимущества посадки деревьев

Урбанизация оторвала людей от их корней. Люди поглощены современными гаджетами и уходят от природы. Посадка большего количества деревьев - хороший способ держать их ближе к природе. Выращивание рядов деревьев и строительство садов и парков на небольших расстояниях в городах и поселках обеспечивает людям удобное место для общения.Сюда приходят на утренние прогулки, вечерние прогулки, занятия йогой и смехотерапию. Они также служат безопасным местом для игр и общения детей. Таким образом, это дает возможность заняться различными развлекательными мероприятиями. Высаженные леса дают вам возможность заниматься такими видами деятельности, как походы, охота и т. Д.

Хорошая окружающая среда помогает нам поднимать настроение, а деревья помогают в этом. В наши дни, когда вокруг так много стресса, мы все ищем вещи, которые доставляют нам удовольствие и поднимают настроение.Мы не понимаем, что ничто не может снять стресс так легко и быстро, как природа. Деревья также известны своими лечебными свойствами. Исследователи утверждают, что пациенты, которые рассматривают деревья и растения из окна, как правило, быстрее заживают.

Многие социальные выгоды от посадки деревьев связаны с их экономической выгодой.

Экономическая выгода от посадки деревьев

Деревья дают древесину, которая используется для строительства различных вещей, таких как мебель, дома и стационарные предметы, и многие другие.Кроме того, деревья также содержат клетчатку, смолу, каучук, дубильные вещества, мед и многое другое. Итак, чем больше деревьев мы сажаем, тем больше вещей мы можем построить. Больше заводов по производству таких вещей означает большее количество предприятий, что хорошо для экономического процветания тех, кто занимается этим бизнесом, а также страны в целом. Больше заводов и большее количество быстрорастущих предприятий также означают больше возможностей для трудоустройства людей. Деревья также увеличивают количество владений. Место, окруженное деревьями, предлагает хорошие условия для жизни и поэтому пользуется большим спросом.

Заключение

Итак, выгода от посадки деревьев огромна, но мы по-прежнему упускаем из виду их важность. Пора нам осознать, насколько они важны для нашей окружающей среды, а также для нашего социального и экономического благополучия. Каждый из нас должен взять на себя ответственность сажать деревья, когда и где только возможно, чтобы сделать нашу планету лучшим местом для жизни.

Дополнительная информация:

Очерк садоводства

Лозунги о спасении деревьев

Лозунги на деревьях

Пункт о важности посадки деревьев

Пункт о деревьях

Пункт о спасении деревьев

Эссе по спасению деревьев

Очерк важности посадки деревьев

Очерк важности деревьев в нашей жизни

Речь о важности деревьев в нашей жизни

.

Полезные свойства инжира и противопоказания

Давно на фруктовых рынках мира продают инжир или инжир, как его еще называют фиговые деревья. Он очень популярен у ценителей и любителей вкусных и полезных закусок. Сейчас на юге появляется новый урожай этого фрукта. Поэтому сегодня мы поговорим о полезных свойствах инжира и его применении в народной медицине.

Чаще всего он продается в сушеном виде, так как в свежем быстро портится.Еще из него производят вино, варенье и различные сладости в восточных странах. Очень сладкий вкус, особенно сушеный.

- старинное растение, которое издавна использовалось в пищевой и медицинской промышленности. Его полезные свойства отметил даже врач Авиценна. Полезными в этом растении являются листьев и плодов в свежем и сушеном виде.

Состав

В инжире много витаминов группы B, PP, C, бета-каротина, органических кислот, ферментов, пектинов, макро- и микроэлементов, большинство из которых составляют калий, кальций, натрий, железо, йод, магний. и фосфор, а также белки и углеводы (сахара).

Несмотря на сладкую эссенцию свежего инжира, он имеет небольшую калорийность, всего 49 ккал.

В сухофруктах много белков и сахаров, калорийность увеличивается до 214 ккал. Но его тоже, как и свежий инжир, можно использовать для похудения, он оказывает щадящее действие.

Полезные свойства инжира в свежем виде

Итак, чем же полезен инжир?

  • В листьях и плодах инжира содержится вещество кумарин, известный в медицине как антикоагулянт непрямого действия, обладает антитромботическим действием (разжижает кровь как аспирин), применяется при варикозном расширении вен, гипертонии, аритмии, тахикардия (сердцебиение), предотвращает образование тромбов.
  • Во фруктах все еще есть вещества, снижающие уровень холестерина.
  • Поскольку он содержит много витаминов, он является антиоксидантом и используется для лечения и профилактики многих заболеваний, в том числе вирусных и бактериальных, отличное потогонное средство при повышенной температуре.
  • Всем известный отвар плодов при бронхите, пневмонии, как дополнительное отхаркивающее средство , жаропонижающие , также принимают при бронхиальной астме.
  • Недавно ученые обнаружили в нем свойства , предотвращающие развитие рака груди .
  • В случае нехватки кальция и калия в организме, употребляя инжир в пищу, можно пополнить его запасы, а сердечная мышца отблагодарит вас за такую ​​вкусную калиевую косметику. Несомненным плюсом является способность инжира укреплять сосудистые стенки капилляров, вен и артерий.
  • Инжир очень питательный и калорийный в сухом виде, поэтому его следует принимать при физических, умственных и эмоциональных нагрузках, он улучшает память, придает энергию и силы, улучшает пищеварение .
  • Плоды, богатые железом, показаны при анемии, так как они повышают уровень гемоглобина в крови и способствуют кроветворению.
  • Отвар инжира на молоке лечит боль в горле.
  • Плоды также известны своим слабительным действием и входят в состав некоторых слабительных средств.
  • Имеется также легкий мочегонный эффект.

Отдельно нужно сказать о полезных свойствах инжира для женщин. Благодаря своим важным регенерирующим свойствам, плод фигового дерева считается омолаживающим, придает энергию и очень популярен в косметологии.

Инжир увлажняет, питает и очищает кожу, разглаживает морщины, предотвращает ломкость ногтей и волос.

Использование фиговых листьев

Листья входят в состав препаратов для лечения облысения и нарушения пигментации кожи.Настой из листьев принимают при колите, хроническом гастрите, бронхите и бронхиальной астме.

Свежие листья имеют молочный сок, на котором видны бородавки и даже татуировки.

Инжир очень вкусный и полезный в небольших количествах. Также он обладает антиоксидантными свойствами, улучшает аппетит и содержит различные полезные вещества.

Как выбрать и хранить инжир

К сожалению, фрукт очень быстро просеивается и не может быть собран впрок.Можно купить килограмм и есть всей семьей. В холодильнике хранится в лучшем случае три дня, а то, если вы купите немного недозревшие.

Есть пурпурные темные сорта, а зеленые, темные обычно имеют более насыщенный сладкий вкус. Выбирая такие же зеленые сорта, стоит обратить внимание, не начали ли они трескаться по заднице (спелые). И обратить внимание на запах, чтобы не пахло сброженным вином - если да, то уже начали исчезать .

С сухофруктами проще - при правильном хранении может храниться до полугода, однако хранится эта вкуснятина редко.Часто этот сухофрукт добавляют в витаминные иммуностимулирующие смеси, например смесь Академика Амосова.

Противопоказания инжира (вред)

Как и практически любое растительное вещество, инжир имеет, помимо пользы, вред - противопоказания к употреблению.

  • Запрещается употреблять инжир при сахарном диабете (можно только на начальных стадиях и только свежие фрукты), больным подагрой и рекомендуется только в небольших количествах при избыточном весе.
  • Возможны боли и дискомфорт в животе после употребления фигового дерева и воспалительные заболевания желудочно-кишечного тракта в стадии обострения.

Инжир рекомендован детям, взрослым, беременным и пожилым людям. Если бы все знали о существовании такой огромной пользы для тела инжира, употребляли бы его гораздо чаще. Этот восточный фрукт может быть не только приятным на вкус, но и обладать рядом полезных свойств для организма.

.

Дискретная математика: открытое введение, 3-е издание

Расследуй!

Рассмотрим график, изображенный ниже.

  1. Найдите подграф с наименьшим числом ребер, который все еще связан и содержит все вершины.

  2. Найдите подграф с наибольшим числом ребер, не содержащий циклов.

  3. Что вы заметили в количестве ребер в приведенных выше примерах? Это совпадение?

Один очень полезный и распространенный подход к изучению теории графов - ограничить свое внимание графами определенного типа.Например, вы можете попытаться понять только полные графы или двудольные графы, вместо того, чтобы пытаться понять все графы в целом. Это то, что мы собираемся сделать сейчас, глядя на дерево . Надеюсь, к концу этого раздела мы лучше поймем этот класс графов, а также поймем, почему он настолько важен, чтобы иметь отдельный раздел.

Определение дерева.

Дерево - это связный граф, не содержащий циклов. 4

Иногда об этом говорят как «дерево - это ациклический связный граф»; «Ациклический» - это просто модное слово, означающее «не содержащий циклов»

лес - это граф без циклов. Обратите внимание: это означает, что связанный лес - это дерево.

Согласуется ли вышеприведенное определение с вашей интуицией, какие графы мы должны называть деревьями? Попробуйте вспомнить примеры деревьев и убедитесь, что они соответствуют определению. Следует иметь в виду, что хотя деревья, которые мы изучаем в теории графов, связаны с деревьями, которые вы можете видеть в других предметах, соответствие не является точным.Например, в антропологии вы можете изучать родословные, подобные приведенному ниже:

Пока все хорошо, но хотя ваши бабушка и дедушка (вероятно) не являются кровными родственниками, если мы вернемся достаточно далеко, вполне вероятно, что у них действительно был или общий предок. Если вы проследите дерево от себя до этого общего предка, а затем вниз через вашего другого прародителя, у вас будет цикл, и, следовательно, граф не будет деревом.

Возможно, вы также видели нечто, называемое деревом решений (например, алгоритм принятия решения, сходится ли ряд или расходится).Иногда они тоже содержат циклы, поскольку решение для одного узла может вернуть вас к предыдущему шагу.

У обоих приведенных выше примеров деревьев есть еще одна особенность, которую стоит упомянуть: в дереве есть четкий порядок вершин. В общем, у дерева нет причин иметь эту дополнительную структуру, хотя мы можем наложить такую ​​структуру, рассматривая корневых деревьев , где мы просто обозначаем одну вершину как корень . Мы рассмотрим такие деревья более подробно позже в этом разделе.

Подраздел Свойства деревьев

Мы хотим по-настоящему понять деревья. Это означает, что мы должны открывать свойства деревьев; что делает их особенными и что в них особенного.

Дерево - это связный граф без циклов. Что еще мы можем сказать? Было бы неплохо иметь другие эквивалентные условия, чтобы граф был деревом. То есть, мы хотели бы знать, есть ли какие-либо свойства теории графов, которые есть у всех деревьев, и, возможно, даже то, что имеют только дерева.

Чтобы понять, что мы можем сказать, мы рассмотрим три предложения о деревьях. Они также проиллюстрируют важные методы доказательства, которые применимы к графам в целом и оказываются немного проще для деревьев.

Наше первое предложение дает альтернативное определение дерева. То есть он дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы граф был деревом.

Предложение 4.2.1.

Граф \ (T \) является деревом тогда и только тогда, когда между каждой парой различных вершин \ (T \) существует единственный путь.

Доказательство.

Это утверждение «если и только если», поэтому мы должны доказать два следствия. Начнем с доказательства того, что если \ (T \) - дерево, то между каждой парой различных вершин существует единственный путь.

Предположим, что \ (T \) - дерево, и пусть \ (u \) и \ (v \) - разные вершины (если \ (T \) имеет только одну вершину, заключение выполняется автоматически). Мы должны показать две вещи, чтобы показать, что существует уникальный путь между \ (u \) и \ (v \ text {:} \), что существует путь, и что существует не более одного пути.Первый из них автоматический, поскольку \ (T \) - дерево, оно связно, поэтому между любой парой вершин существует путь.

Чтобы показать, что путь уникален, предположим, что есть два пути между \ (u \) и \ (v \ text {,} \), и пришли к противоречию. Два пути могут начинаться одинаково, но поскольку они различны, существует некоторая первая вершина \ (u '\), после которой два пути расходятся. Однако, поскольку оба пути заканчиваются и \ (v \ text {,} \), есть некоторая первая вершина после \ (u '\), которая у них общая, назовите ее \ (v' \ text {.} \) Теперь рассмотрим два пути из \ (u '\) в \ (v' \ text {.} \) Взятые вместе, они образуют цикл, что противоречит нашему предположению, что \ (T \) - дерево.

Теперь рассмотрим обратное: если между каждой парой различных вершин \ (T \) существует единственный путь, то \ (T \) - дерево. Итак, предположим гипотезу: между каждой парой различных вершин \ (T \) существует единственный путь. Чтобы доказать, что \ (T \) - дерево, мы должны показать, что оно связно и не содержит циклов.

Первая половина этого проста: \ (T \) связно, потому что между каждой парой вершин есть путь.Чтобы показать, что \ (T \) не имеет циклов, предположим, что он есть, для противоречия. Пусть \ (u \) и \ (v \) - две различные вершины в цикле \ (T \ text {.} \), Так как мы можем попасть из \ (u \) в \ (v \), двигаясь по часовой стрелке или против часовой стрелки вокруг цикла есть два пути из \ (u \) и \ (v \ text {,} \), которые противоречат нашему предположению.

Мы установили оба направления, так что завершили доказательство.

Внимательно прочтите приведенное выше доказательство. Обратите внимание, что оба направления состоят из двух частей: существования путей и уникальности путей (что связано с тем, что циклов не было).В данном случае эти две части действительно были отдельными. Фактически, если бы мы просто рассматривали графы без циклов (лес), мы все равно могли бы выполнить те части доказательства, которые исследуют уникальность путей между вершинами, даже если может не существовать пути между вершинами.

Это наблюдение позволяет нам сформулировать следующее следствие : 5

Следствие - это другой вид доказуемого утверждения, например предложение или теорема, но следующий за указанием другого уже установленного утверждения или его доказательства.

Следствие 4.2.2.

Граф \ (F \) является лесом тогда и только тогда, когда между любой парой вершин в \ (F \) существует не более одного пути.

Мы не даем доказательства следствия (в конце концов, предполагается, что оно следует непосредственно из предложения), но для практики вас просят тщательно доказать это в упражнениях. Когда вы это сделаете, попытайтесь использовать доказательство противным, а не доказательство от противного.

Наше второе предложение говорит нам, что все деревья имеют листьев : вершины первой степени.

Предложение 4.2.3.

Любое дерево, имеющее не менее двух вершин, имеет не менее двух вершин степени один.

Доказательство.

Мы даем доказательство от противного. Пусть \ (T \) дерево по крайней мере с двумя вершинами, и предположим, вопреки условию, что нет двух вершин степени один.

Пусть \ (P \) будет путем в \ (T \) максимально длинной возможной длины. Пусть \ (u \) и \ (v \) - конечные точки пути. Поскольку \ (T \) не имеет двух вершин степени один, по крайней мере одна из них должна иметь степень два или выше.Скажем, что это \ (u \ text {.} \) Мы знаем, что \ (u \) смежна с вершиной в пути \ (P \ text {,} \), но теперь она также должна быть смежной с другой вершиной , назовите его \ (u '\ text {.} \)

Где находится \ (u '\ text {?} \) Это не может быть вершиной \ (P \ text {,} \), потому что если бы это было так, было бы два различных пути от \ (u \) до \ ( u '\ text {:} \) край между ними и первая часть \ (P \) (до \ (u' \)). Но \ (u '\) также не может находиться за пределами \ (P \ text {,} \), поскольку, если бы это было так, был бы путь от \ (u' \) до \ (v \), который был бы длиннее, чем \ (P \ text {,} \) с максимально возможной длиной.

Это противоречие доказывает, что должно быть как минимум две вершины степени один. Фактически, мы можем сказать немного больше: \ (u \) и \ (v \) должны и иметь степень один.

Предложение весьма полезно при доказательстве утверждений о деревьях, потому что мы часто доказываем утверждения о деревьях с помощью индукции . Для этого нам нужно уменьшить данное дерево до меньшего дерева (чтобы мы могли применить индуктивную гипотезу). Избавление от вершины первой степени - очевидный выбор, и теперь мы знаем, что всегда есть от чего избавиться.

Чтобы проиллюстрировать, как индукция используется на деревьях, мы рассмотрим взаимосвязь между количеством вершин и количеством ребер в деревьях. Есть ли у дерева ровно 7 вершин и 7 ребер? Попробуйте нарисовать одну. Может ли дерево с 7 вершинами иметь только 5 ребер? Есть веская причина, по которой их невозможно нарисовать.

Предложение 4.2.4.

Пусть \ (T \) - дерево с \ (v \) вершинами и \ (e \) ребрами. Тогда \ (e = v-1 \ text {.} \)

Доказательство.

Мы дадим доказательство индукцией по числу вершин в дереве.То есть мы докажем, что каждое дерево с \ (v \) вершинами имеет ровно \ (v-1 \) ребер, а затем с помощью индукции покажем, что это верно для всех \ (v \ ge 1 \ text {.} \ )

В качестве базового случая рассмотрим все деревья с \ (v = 1 \) вершинами. Такое дерево всего одно: граф с единственной изолированной вершиной. Этот граф имеет \ (e = 0 \) ребер, поэтому мы видим, что \ (e = v-1 \), если необходимо.

Теперь для индуктивного случая зафиксируем \ (k \ ge 1 \) и предположим, что все деревья с \ (v = k \) вершинами имеют ровно \ (e = k-1 \) ребер.Теперь рассмотрим произвольное дерево \ (T \) с \ (v = k + 1 \) вершинами. По предложению 4.2.3, \ (T \) имеет вершину \ (v_0 \) степени один. Пусть \ (T '\) будет деревом, полученным в результате удаления \ (v_0 \) из \ (T \) (вместе с его инцидентным ребром). Поскольку мы удалили лист, \ (T '\) по-прежнему является деревом (уникальные пути между парами вершин в \ (T' \) такие же, как уникальные пути между ними в \ (T \)).

Теперь \ (T '\) имеет \ (k \) вершин, поэтому по предположению индукции имеет \ (k-1 \) ребер. Что мы можем сказать о \ (T \ text {?} \) Ну, у него на одно ребро больше, чем \ (T '\ text {,} \), поэтому у него \ (k \) ребер.Но это именно то, что мы хотели: \ (v = k + 1 \ text {,} \) \ (e = k \), так что действительно \ (e = v-1 \ text {.} \). Это завершает индуктивный случай. , и доказательство.

Стоит отметить очень важную особенность этого индукционного доказательства. Индукция имеет смысл для доказательства графов, потому что мы можем думать о графах как о растущих в более крупные графы. Однако это НЕ работает. Было бы неправильно начинать с дерева с \ (k \) вершинами, а затем добавлять новую вершину и ребро, чтобы получить дерево с \ (k + 1 \) вершинами, и обратите внимание, что количество ребер также выросло на один.Почему это плохо? Потому что откуда вы знаете, что каждое дерево с \ (k + 1 \) вершинами является результатом добавления вершины к вашему произвольному начальному дереву? Вы не делаете!

Дело в том, что всякий раз, когда вы даете индукционное доказательство того, что утверждение о графах справедливо для всех графов с \ (v \) вершинами, вы должны начать с произвольного графа с \ (v + 1 \) вершинами, затем уменьшите этот граф в граф с \ (v \) вершинами, к которому вы можете применить свою индуктивную гипотезу.

Подраздел корневые деревья

До сих пор мы думали о деревьях только как об особом виде графа.Однако часто бывает полезно добавить к деревьям дополнительную структуру для решения проблем. Данные часто имеют структуру дерева. Эта книга, например, имеет древовидную структуру: нарисуйте вершину для самой книги. Затем нарисуйте вершины для каждой главы, связанные с вершиной книги. Под каждой главой нарисуйте вершину для каждого раздела, соединив ее с главой, к которой она принадлежит. На графике не будет циклов; это будет дерево. Но дерево с четкой иерархией, которого нет, если мы не идентифицируем вершину книги как «верхнюю».

Как только одна вершина дерева обозначена как корень , тогда каждая другая вершина в дереве может быть охарактеризована своим положением относительно корня. Это работает, потому что между любыми двумя вершинами дерева существует уникальный путь. Таким образом, из любой вершины мы можем вернуться к корню только одним способом. Это также позволяет нам описать, как связаны различные вершины корневого дерева.

Если две вершины смежны, мы говорим, что одна из них является родительской другой, которая называется дочерним элементом родительского элемента.Из двух родительская - это вершина, которая находится ближе к корню. Таким образом, корень дерева является родителем, но не является потомком какой-либо вершины (и в этом отношении уникален: все некорневые вершины имеют ровно один родительский элемент).

Неудивительно, что потомок дочернего элемента вершины называется внуком вершины (и это прародитель ). В общем, мы говорим, что вершина \ (v \) является потомком вершины \ (u \), при условии, что \ (u \) является вершиной на пути от \ (v \) к корню.Затем мы назвали бы \ (u \) предком \ (v \ text {.} \)

Для большинства деревьев (фактически, всех, кроме путей, у которых один конец является корнем) будут пары вершин, ни одна из которых не является потомком другой. Мы могли бы звать этих кузенов или братьев и сестер. Фактически, вершины \ (u \) и \ (v \) называются братьями и сестрами , если у них один и тот же родитель. Обратите внимание, что братья и сестры никогда не находятся рядом (вы понимаете, почему?).

Пример 4.2.5.

Рассмотрим дерево ниже.

Если мы обозначим вершину \ (f \) как корень, то \ (e \ text {,} \) \ (h \ text {,} \) и \ (i \) являются дочерними элементами \ (f \ text {,} \) и являются братьями и сестрами друг друга. Среди прочего мы можем сказать, что \ (a \) является потомком \ (c \ text {,} \) и потомком \ (f \ text {.} \). Вершина \ (g \) является потомок \ (f \ text {,} \) на самом деле является внуком \ (f \ text {.} \) Vertices \ (g \), а \ (d \) - братья и сестры, поскольку у них есть общие родительский \ (e \ text {.} \)

Обратите внимание, как это изменится, если мы выберем другую вершину для корня.Если \ (a \) является корнем, то его единственный дочерний элемент - это \ (c \ text {,} \), у которого также есть только один дочерний элемент, а именно \ (e \ text {.} \). Тогда у нас будет \ (f \) дочерний элемент \ (e \) (а не наоборот), а \ (f \) является потомком \ (a \ text {,} \) вместо предка. \ (f \) и \ (g \) теперь братья и сестры.

Весь этот цветочный язык помогает нам описать, как перемещаться по по дереву. Обход дерева с посещением каждой вершины в определенном порядке - ключевой шаг во многих алгоритмах. Даже если дерево не является корневым, мы всегда можем сформировать корневое дерево, выбрав любую вершину в качестве корня.Вот пример того, почему это может быть полезно.

Пример 4.2.6.

Объясните, почему каждое дерево является двудольным графом.

Решение

Чтобы показать, что граф двудольный, мы должны разделить вершины на два множества \ (A \) и \ (B \) так, чтобы никакие две вершины в одном наборе не были смежными. Вот алгоритм, который делает именно это.

Обозначьте любую вершину как корень. Поместите эту вершину в набор \ (A \ text {.} \) Теперь поместите всех потомков корня в набор \ (B \ text {.} \) Ни один из этих детей не является смежным (они братья и сестры), так что пока у нас все хорошо. Теперь поместите в \ (A \) каждый дочерний элемент каждой вершины в \ (B \) (т.е. каждого внука корня). Продолжайте, пока всем вершинам не будет присвоен один из наборов, чередуя \ (A \) и \ (B \) каждое «поколение». То есть вершина находится в множестве \ (B \) тогда и только тогда, когда она является дочерней по отношению к вершине в множестве \ (A \ text {.} \)

Ключом к тому, как мы разбили дерево в примере, было знать, какую вершину назначить следующему набору.Мы решили посетить все вершины одного и того же поколения перед любыми вершинами следующего поколения. Обычно это называется поиском в ширину (мы говорим «поиск», потому что вы часто перемещаетесь по дереву в поисках вершин с определенными свойствами).

Напротив, мы могли бы также разбить дерево в другом порядке. Начните с корня, поместите его в \ (A \ text {.} \) Затем найдите один дочерний элемент корня, который нужно поместить в \ (B \ text {.} \) Затем найдите дочерний элемент этой вершины в \ ( A \ text {,} \), а затем найдите его дочерний элемент в \ (B \ text {,} \) и так далее.Когда вы дойдете до вершины без дочерних элементов, вернитесь к ее родительскому элементу и посмотрите, есть ли у него другие дочерние элементы. Итак, мы путешествуем как можно дальше от корня, а затем возвращаемся назад, пока снова не сможем двигаться вперед. Это называется поиском в глубину .

Эти алгоритмические объяснения могут служить доказательством того, что каждое дерево является двудольным, хотя нужно проявлять осторожность, чтобы доказать, что алгоритмы правильные . В упражнениях предлагается другой подход к доказательству, что все деревья двудольные, с использованием индукции.

Подраздел Spanning Trees

Одно из преимуществ деревьев состоит в том, что они дают нам несколько простых способов перемещения по вершинам. Если связный граф не является деревом, мы все равно можем использовать эти алгоритмы обхода, если мы идентифицируем подграф, что - это дерево.

Сначала мы должны подумать, имеет ли это вообще смысл. Для любого связного графа \ (G \ text {,} \) всегда будет существовать подграф, являющийся деревом? Что ж, на самом деле это слишком просто: вы можете просто взять один край \ (G \ text {.} \) Если мы хотим использовать этот подграф, чтобы сообщить нам, как посещать все вершины, тогда мы хотим, чтобы наш подграф включал все вершины. Мы называем такое дерево остовным деревом . Оказывается, у каждого связного графа есть один (а обычно много).

Остовное дерево.

Для связного графа \ (G \ text {,} \) остовное дерево из \ (G \) является подграфом \ (G \), который является деревом и включает в себя все вершины \ (G \ text {.} \)

У каждого связного графа есть остовное дерево.

Откуда мы знаем? Мы можем дать алгоритм для поиска остовного дерева! Начнем со связного графа \ (G \ text {.} \) Если цикла нет, то \ (G \) уже является деревом, и мы закончили. Если есть цикл, пусть \ (e \) будет любым ребром в этом цикле, и рассмотрим новый граф \ (G_1 = G - e \) (то есть граф, который вы получите, удалив \ (e \)). Это дерево по-прежнему связно, поскольку \ (e \) принадлежало циклу, между его инцидентными вершинами было как минимум два пути. Теперь повторите: если \ (G_1 \) не имеет циклов, мы закончили, в противном случае определим \ (G_2 \) как \ (G_1 - e_1 \ text {,} \), где \ (e_1 \) - это ребро в цикле. в \ (G_1 \ text {.}\) Продолжай. Этот процесс должен в конечном итоге остановиться, поскольку нужно удалить только конечное число ребер. Результатом будет дерево, и, поскольку мы никогда не удаляли ни одной вершины, остовное дерево .

Это ни в коем случае не единственный алгоритм поиска остовного дерева. Вы могли бы начать с пустого графа и добавить ребра, принадлежащие \ (G \), если их добавление не приведет к созданию цикла. У вас есть выбор относительно того, какие ребра вы добавляете первыми: вы всегда можете добавить ребро, смежное с ребрами, которые вы уже добавили (конечно, после первого), или добавить их в другом порядке.Какое остовное дерево вы получите, зависит от этого выбора.

Пример 4.2.7.

Найдите два разных остовных дерева графа,

Хотя мы не будем рассматривать это подробно, эти алгоритмы обычно применяются к взвешенным графам . Здесь каждому ребру назначен вес или стоимость. Цель состоит в том, чтобы найти остовное дерево с наименьшим возможным общим весом. Такое дерево называется минимальным остовным деревом . Для поиска минимального связующего дерева используются в основном те же алгоритмы, что и описанные выше, но при выборе добавляемого ребра вы всегда выбираете наименьшее (или при удалении ребра всегда удаляете наибольшее). 6

Если вы добавляете наименьшее ребро, смежное с уже добавленными ребрами, вы выполняете алгоритм Prim . Если вы добавите наименьшее ребро во весь граф, вы будете следовать алгоритму Крускала .

Упражнения Упражнения

1.

Какие из следующих графов являются деревьями?

  1. \ (G = (V, E) \) с \ (V = \ {a, b, c, d, e \} \) и \ (E = \ {\ {a, b \}, \ {a, e \}, \ {b, c \}, \ {c, d \}, \ {d, e \} \} \)

  2. \ (G = (V, E) \) с \ (V = \ {a, b, c, d, e \} \) и \ (E = \ {\ {a, b \}, \ { b, c \}, \ {c, d \}, \ {d, e \} \} \)

  3. \ (G = (V, E) \) с \ (V = \ {a, b, c, d, e \} \) и \ (E = \ {\ {a, b \}, \ { a, c \}, \ {a, d \}, \ {a, e \} \} \)

  4. \ (G = (V, E) \) с \ (V = \ {a, b, c, d, e \} \) и \ (E = \ {\ {a, b \}, \ { а, в \}, \ {г, д \} \} \)

Решение
  1. Это не дерево, поскольку оно содержит цикл.Также обратите внимание, что существует слишком много ребер, чтобы быть деревом, поскольку мы знаем, что все деревья с \ (v \) вершинами имеют \ (v-1 \) ребра.

  2. Это дерево, так как оно связно и не содержит циклов (что можно увидеть, нарисовав график). Все тропинки - деревья.

  3. Это дерево, так как оно связно и не содержит циклов (нарисуйте график). Все звезды - деревья.

  4. Это не дерево, так как оно не связано. Обратите внимание, что для дерева недостаточно ребер.

2.

Для каждой приведенной ниже последовательности степеней решите, должна ли она всегда, никогда или может быть последовательностью степеней для дерева. Помните, что последовательность степеней перечисляет степени (количество ребер, инцидентных вершине) всех вершин в графе в порядке невозрастания.

  1. \ ((4,1,1,1,1) \)

  2. \ ((3,3,2,1,1) \)

  3. \ ((2,2,2,1,1) \)

  4. \ ((4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) \)

Решение
  1. Это должна быть последовательность степеней для дерева.Это связано с тем, что вершина степени 4 должна быть смежной с четырьмя вершинами степени 1 (для нее нет других вершин, с которыми она могла бы быть смежна), и таким образом мы получаем звезду.

  2. Это не может быть деревом. Каждая вершина степени 3 смежна со всеми вершинами графа, кроме одной. Таким образом, каждая из них должна быть смежной с одной из вершин степени 1 (а не с другой). Это означает, что обе вершины степени 3 смежны с вершиной степени 2 и друг с другом, и это означает, что существует цикл.

    Или посчитайте, сколько там ребер!

  3. Это может быть дерево, а может и нет. Путь длиной 4 имеет эту последовательность степеней (это дерево), но также имеет объединение 3-цикла и пути длиной 1 (который не связан, то есть не дерево).

  4. Это не может быть дерево. Сумма степеней равна 28, поэтому получается 14 ребер. Но также есть 14 вершин, поэтому у нас нет \ (v = e + 1 \ text {,} \), что означает, что это не может быть деревом.

3.

Для каждой приведенной ниже последовательности степеней решите, должна ли она всегда, никогда или может быть последовательностью степеней для дерева. Обоснуйте свои ответы.

  1. \ ((3, 3, 2, 2, 2) \)

  2. \ ((3, 2, 2, 1, 1, 1) \)

  3. \ ((3, 3, 3, 1, 1, 1) \)

  4. \ ((4, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1) \)

Подсказка

Осторожно: графики могут не соединяться.

4.

Предположим, у вас есть граф с \ (v \) вершинами и \ (e \) ребрами, который удовлетворяет \ (v = e + 1 \ text {.} \) Должен ли граф быть деревом? Обоснуйте свой ответ.

5.

Докажите, что любой граф (не обязательно дерево) с \ (v \) вершинами и \ (e \) ребрами, удовлетворяющий \ (v \ gt e + 1 \), НЕ будет связным.

Подсказка

Попробуйте доказательство от противного и рассмотрите остовное дерево графа.

6.

Если граф \ (G \) с \ (v \) вершинами и \ (e \) ребрами связан и имеет \ (v \ lt e + 1 \ text {,} \), должен ли он содержать цикл? Обоснуйте свой ответ.

Решение

Да.Докажем контрапозитив. Предположим, что \ (G \) не содержит цикла. Тогда \ (G \) - дерево, поэтому будет \ (v = e + 1 \ text {,} \) вопреки условию.

7.

Мы определяем лес как граф без циклов.

  1. Объясните, почему это хорошее имя. То есть объясните, почему лес - это союз деревьев.

  2. Предположим, что \ (F \) - лес, состоящий из \ (m \) деревьев и \ (v \) вершин. Сколько ребер у \ (F \)? Объясни.

  3. Докажите, что любой граф \ (G \) с \ (v \) вершинами и \ (e \) ребрами, удовлетворяющий \ (v \ lt e + 1 \), должен содержать цикл (то есть не быть лесом).

Подсказка

Для части (b), попробовав несколько простых примеров, вы должны получить формулу. Тогда вам просто нужно доказать, что это правильно.

8.

Дайте тщательное доказательство следствия 4.2.2: граф является лесом тогда и только тогда, когда существует не более одного пути между любой парой вершин. Используйте доказательство от противного (а не доказательство от противного) для обоих направлений.

Подсказка

. Изучение доказательства предложения 4.2.1 дает вам большую часть того, что вам нужно, но убедитесь, что вы указали только соответствующие части, и постарайтесь не использовать доказательство от противоречия.

9.

Дайте тщательное доказательство индукцией по количеству вершин, что каждое дерево является двудольным.

Подсказка

Вам нужно будет удалить вершину первой степени, применить индуктивную гипотезу к результату, а затем сказать, какая вершина равна первой.

10.

Рассмотрим дерево, нарисованное ниже.

  1. Предположим, мы обозначили вершину \ (e \) как корень. Составьте список детей, родителей и братьев и сестер каждой вершины. Есть ли внуки у любой вершины, кроме \ (e \)?

  2. Предположим, что \ (e \) - это , а не , выбранный в качестве корня. Изменит ли наш выбор корневой вершины число , которое имеет детей \ (e \)? Количество внуков? Сколько там каждого?

  3. На самом деле, выберите любую вершину в дереве и предположите, что это не корень.Объясните, почему количество дочерних элементов этой вершины не зависит от того, какая другая вершина является корнем.

  4. Работает ли предыдущая часть для других деревьев? Приведите пример другого дерева, к которому оно относится. Затем либо докажите, что оно всегда верно, либо приведите пример дерева, для которого это не так.

Подсказка

Если \ (e \) является корнем, то \ (b \) будет иметь трех дочерних элементов (\ (a \ text {,} \) \ (c \ text {,} \) и \ (d \)), все они будут братьями и сестрами и будут иметь \ (b \) в качестве своего родителя.\ (a \) не будет иметь детей.

В общем, как определить количество потомков у вершины, если она не является корнем?

11.

Пусть \ (T \) будет корневым деревом, которое содержит вершины \ (u \ text {,} \) \ (v \ text {,} \) и \ (w \) (среди возможных других). Докажите, что если \ (w \) является потомком как \ (u \), так и \ (v \ text {,} \), то \ (u \) является потомком \ (v \) или \ (v \) является потомком \ (u \ text {.} \)

12.

Если это уже не дерево, данный граф \ (G \) будет иметь несколько остовных деревьев.Насколько они должны быть похожими или разными?

  1. Должны ли все остовные деревья данного графа быть изоморфны друг другу? Объясните почему или приведите контрпример.

  2. Должны ли все остовные деревья данного графа иметь одинаковое количество ребер? Объясните почему или приведите контрпример.

  3. Должны ли все остовные деревья графа иметь одинаковое количество листьев (вершин степени 1)? Объясните почему или приведите контрпример.

Решение
  1. Нет, хотя есть графики, для которых это верно.Например, \ (K_4 \) имеет остовное дерево, которое представляет собой путь (из трех ребер), а также остовное дерево в виде звезды (с центральной вершиной степени 3).

  2. Да. Для фиксированного графа у нас есть фиксированное число \ (v \) вершин. Любое остовное дерево графа также будет иметь \ (v \) вершин, и, поскольку это дерево, должно иметь \ (v-1 \) ребер.

  3. Нет, хотя существуют графы, для которых это верно (обратите внимание, что если все остовные деревья изоморфны, то все остовные деревья будут иметь одинаковое количество листьев).Опять же, \ (K_4 \) - контрпример. Одно остовное дерево - это путь только с двумя листьями, другое остовное дерево - это звезда с тремя листьями.

13.

Найдите все остовные деревья графа ниже. Сколько существует разных остовных деревьев? Сколько существует различных остовных деревьев от до изоморфизма (то есть, если вы сгруппировали все остовные деревья, по которым изоморфны, сколько групп у вас будет)?

14.

Приведите пример графа, имеющего ровно 7 различных остовных деревьев.Обратите внимание, что некоторые или все эти покрывающие деревья могут быть изоморфными.

Подсказка

Есть пример с 7 ребрами.

15.

Докажите, что каждый связный граф, который сам не является деревом, должен иметь по крайней мере три различных (хотя, возможно, изоморфных) остовных дерева.

Подсказка

Полезным будет предыдущее упражнение.

16.

Рассмотрим ребра, которые должны быть в каждом остовном дереве графа. Должен ли каждый граф иметь такое ребро? Приведите пример графа, имеющего ровно одно такое ребро.

Подсказка

Обратите внимание, что такое ребро, если его удалить, разъединит граф. Мы называем графы с таким ребром 1-связным .

.

Смотрите также